GMM是IV、2SLS、GLS、ML的统领，待我慢慢道来

这“内生性交流小组”的第一篇入门性文章，这个小组主要是学习、交流“内生性”问题处理的Club，当然里面只准讨论内生性相关问题，因为这是圈子专业属性使然。欢迎你先加入“计量经济圈社群”（看文后），然后进入这个交流小组。

正文

所谓矩条件，就是一个同时含有随机变量和待估计参数的式子，经济理论告诉我们，它的期望等于0。矩条件最常见的形式是：E{工具变量*残差}=0。GMM估计就是在一个限定的范围内寻找参数，使这个我们在理论上认为正确的等式填入数据后尽可能接近于0。按照我的理解，GMM不仅是一种估计方法，还是一个计量经济学有经典框架，我们能想到的大多数经典估计方法，OLS、GLS、2SLS、MD、QR、MLE、QMLE等等，都可以写成GMM的形式。

另一个与之匹敌的经典框架是极值估计（extreme estimation）。粗略地说，两者的差别在于：前者是寻找参数，使矩条件尽可能被满足；后者是寻找参数，最大化或最小化一个目标函数（求极值）。简而易见的是，两种方法在算术上基本是等价的，因为任何一个极值函数的一阶条件都是矩条件，而GMM中的目标函数——矩条件经验期望的二次型——本身又是一个极值函数。但是，两者在算法上并不等价。

老朱在评论林文夫（Fumio Hayashi）教授那本有名的教科书时说，“GMM的概念很优美，也可以应用到很多问题上。一般化的概念虽然适用性广，还是有代价的。”这里的代价，我猜测，就是指GMM经常算不出来——由于矩条件本身的特点，GMM的目标函数经常是接近锯齿状的（piecewise constant），在这种情况下，GMM会陷在局部最优里，达不到全局最优。分位数回归（quantile regression）就是一个这样的例子。不过，GMM在很多时候还是有用的，而且算起来特别快，所以还是有讨论的必要。首先我们要问，在GMM估计中，矩条件是不是最多越好？在大样本下，基本上是这样——矩条件越多，GMM估计的渐近效率就越高。

说“基本上”是因为：第一，这些矩条件必须都是成立的；第二，矩条件的数目相对于样本数要趋向于0。如果矩条件数与样本数是等阶的，会造成“过度拟合”的问题。形象地说，我们本来要用工具变量来应付内生性问题，但是工具变量太多了，以至于几乎把内生变量完全拟合了出来，那么即使工具变量是外生的，也会导致估计量不一致。而在小样本下，过多的矩条件会造成可怕的高阶偏误，并且矩条件非线性的程度越高，偏误就越大。

要注意的是，这个问题与“弱工具变量问题”并不等价。即使这些工具变量整体上不弱，甚至每个都不弱，过多的矩条件还是会造成严重的小样本偏误。这里其实涉及到GMM估计的高阶偏误问题，其核心是由GMM目标函数的“非线性”特征造成的。当矩条件的数目很多，矩条件本身又是非线性的时候，这个问题就愈加严重；但即使没有“矩条件过多”的问题，GMM仍然存在不可忽视的小样本偏误。在实践中，我们可以用几种方法来减轻这一问题。

第一，检验矩条件（或工具变量）是否成立。“过度识别检定”（overidentification test，OIT）可以被用检验某一组矩条件是否成立，前提是去除待检验的矩条件后，剩余的矩条件数目仍大于等于待估计参数的维度。

第二，选择“最有效率”的工具变量。给定一个理论上有效的工具变量Zi，我们可以通过简便的方法找出Zi的某种最优的函数形式f*(Zi)，把f*(Zi)放入矩条件会使得估计量的渐近方差比放入其他f(Zi)要小。这么做可以尽可能地利用Zi中的信息，而不必将不同函数形式的Zi写成并列的几个矩条件。

第三，在所有成立的矩条件中选择一组最优的矩条件。用任意组合的矩条件进行估计，看其中哪一组矩条件得到的估计量的“经验均方误”最小。最后，我们还可以用Fuller、HFUL等K-class估计量或LIML、CUE等经验似然估计量来进行估计，然后用Bekker估计量校正其标准误。这些估计量可以在很大程度上减小偏误，即使无法完全消除它。如果嫌上面这些方法都太麻烦，那么为了对得起自己的良心，在GMM估计中我们至少要关心下面这些问题：

1. 寻找（理论的或经验的）论据支持某一工具变量或矩条件是成立的。

2. 线性的矩条件往往要比非线性的要好。

3. 矩条件的数目要远小于观察值的数目。

4.任何一个矩条件都应该通过“过度识别检定”（若该检定是可能的），否则就不能认为它是外生的。
5.多放和少放一个同类型的工具变量，估计结果不应受到很大影响。否则，任何一个结果都是不可信的。

再给大家附一篇个人认为比较好的GMM介绍文章

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